Θέμα 5: Μαρκοβιανές ανανεωτικές διαδικασίες και εφαρμογές

Επιβλέπων: Βασίλειος Κούτρας

Το συγκεκριμένο ερευνητικό μεταπτυχιακό αντικείμενο του προγράμματος ΜΕΔΜΟΔΕ του ΤΜΟΔ, περιλαμβάνει τη μελέτη των Μαρκοβιανών ανανεωτικών διαδικασιών (Markov Regenerative Processes-MRGP), την κατανόηση του μαθηματικού υποβάθρου αυτής της κατηγορίας στοχαστικών διαδικασιών αλλά και τη χρήση τους σε εφαρμογές τεχνολογικού εξοπλισμού.

Μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία είναι μια στοχαστική διαδικασία {Z(t),t≥0} με χώρο καταστάσεων Ω, η οποία έχει μια συγκεκριμένη συμπεριφορά. Πιο αναλυτικά, έστω ότι μας ενδιαφέρει η μοντελοποίηση της συμπεριφοράς ενός τεχνολογικού συστήματος, η οποία έχει στοχαστικό χαρακτήρα. Έστω επίσης ότι για κάθε χρονική στιγμή στην οποία συμβαίνει ένα συγκεκριμένο φαινόμενο (γεγονός) στο σύστημα, η μελλοντική συμπεριφορά αυτού, που περιγράφεται από τη στοχαστική διαδικασία Z, μετά από τη χρονική στιγμή εμφάνισης του συμβάντος αποτελεί ένα πιθανοτικό αντίγραφο της μελλοντική συμπεριφοράς του συστήματος μετά το χρόνο μηδέν (χρόνος εκκίνησης του συστήματος). Οι χρονικές αυτές στιγμές (συνήθως τυχαίες) ονομάζονται σημεία ανανέωσης της στοχαστικής διαδικασίας Ζ, και η διαδικασία Ζ ονομάζεται ανανεωτική στοχαστική διαδικασία. Επιπλέον, έστω μια στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τη συμπεριφορά ενός τεχνολογικού συστήματος στο χρόνο, για την οποία υπάρχουν χρονικές στιγμές στις οποίες η διαδικασία έχει την ιδιότητα της απώλειας μνήμης (η μελλοντική συμπεριφορά της στοχαστικής διαδικασίας εξαρτάται μόνο από την παρούσα κατάσταση και όχι από το παρελθόν της). Οι χρονικές αυτές στιγμές αναφέρονται ως σημεία ανανέωσης. Σε μια Μαρκοβιανή ανανεωτική διαδικασία, η στοχαστική εξέλιξη του συστήματος μεταξύ δύο συνεχόμενων σημείων ανανέωσης εξαρτάται μόνο από την κατάσταση του συστήματος στο σημείο ανανέωσης και όχι από την εξέλιξη του πριν από αυτό. 

Στόχος του συγκεκριμένου ερευνητικού θέματος, είναι η χρήση των Μαρκοβιανών ανανεωτικών διαδικασιών στη μοντελοποίηση διαφόρων συστημάτων, μιας και σε πολλές περιπτώσεις, οι διαδικασίες αυτές αποτελούν τα πιο ρεαλιστικά μοντέλα. Η εφαρμογή των μοντέλων αυτών μπορεί να γίνει για παράδειγμα στην αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας και την εκτίμηση των πιθανοτήτων μετάβασης μεταξύ των βαθμίδων αξιολόγησης καθώς οι ανανεωτικές διαδικασίες μπορούν να μοντελοποιήσουν καλύτερα το φαινόμενο του rating momentum (αν μια οντότητα αξιολογηθεί με χαμηλότερη βαθμίδα πιστωτικού κινδύνου από ότι στην προηγούμενη αξιολόγηση, τότε είναι πιο πιθανό και η επόμενη αξιολόγηση να είναι χαμηλότερη), σε τεχνολογικά συστήματα τα οποία αποτελούνται από περισσότερες από μια μονάδες όπου η κάθε μια υπόκειται σε συντηρήσεις και βλάβες με απώτερο σκοπό τη μελέτη της αξιόπιστους τους, ή ακόμα και στην εκτίμηση της πληρότητας ιατρικών μονάδων σε περιπτώσεις αντιμετώπισης έκτακτων φαινομένων όπως για παράδειγμα η πρόσφατη πανδημία, όπου η τάση της πανδημίας επηρεάζει σημαντικά την πληρότητα.

Ο/Η μεταπτυχιακός/η φοιτητής/τρια που θα επιλεγεί πρέπει να έχει αφενός καλή γνώση θεωρίας πιθανοτήτων, στοχαστικών διαδικασιών και επιχειρησιακής έρευνας καθώς επίσης και καλές γνώσεις προγραμματισμού. Αφετέρου θα πρέπει να μπορεί να ερμηνεύσει τα παραγόμενα αποτελέσματα με τη χρήση θεωρίας και να παρακολουθεί τη σχετική βιβλιογραφία τόσο μεθοδολογικά όσο και ως προς τα θεωρητικά θέματα που συζητούνται.

Ο/Η φοιτητής/τρια θα πραγματοποιεί την έρευνά του και παράλληλα θα έχει τη δυνατότητα να παρακολουθεί ένα μάθημα ανά εξάμηνο κατόπιν εισήγησης της τριμελούς επιτροπής. Τα προτεινόμενα μαθήματα είναι:

• Μεθοδολογίες Επιχειρησιακής Έρευνας (Α’ εξάμηνο)
• Υπολογιστικές Μέθοδοι Λήψης Αποφάσεων (Β’ εξάμηνο)

Στο πλαίσιο της έρευνάς του/της θα κάνει βιβλιογραφική ανασκόπηση και θα ξεκινήσει τη μελέτη των Μαρκοβιανών ανανεωτικών διαδικασιών καθώς και τη μοντελοποίηση συστημάτων με τη χρήση αυτών, με στόχο ως το τέλος του 1^ου εξαμήνου να πραγματοποιήσει τη πρώτη έκθεση/ παρουσίαση προόδου. Στο τέλος του 2^ου εξαμήνου αναμένεται να έχει ολοκληρωθεί η μοντελοποίηση των συστημάτων αυτών και να έχουν εξαχθεί συμπεράσματα, ώστε  η 2^η έκθεση/ παρουσίαση προόδου (η οποία επίσης θα βαθμολογηθεί κατά τα ισχύοντα στο πρόγραμμα). Θα ακολουθήσει η συγγραφή της τελικής μεταπτυχιακής εργασίας και η υποστήριξη της ενώπιον της επιτροπής κατά το 3^ο εξάμηνο, ενώ παράλληλα θα πρέπει με βάση τα αποτελέσματα της έρευνας να έχουν προκύψει τουλάχιστον δύο δημοσιεύσεις.